Aritmetična sredina, standardni odklon, varianca
Kratek povzetek
Aritmetična sredina povzema osrednjo vrednost podatkov, varianca in standardni odklon pa njihovo razpršenost. Standardni odklon je kvadratni koren variance in ima enake merske enote kot podatki. Pri izračunu razlikujte populacijo od vzorca: vzorčna ocena variance običajno uporablja delitelj n − 1.
Kako izračunati standardni odklon? Preden odgovorim na to vprašanje, bi bilo dobro na kratko ponoviti, kaj je standardni odklon. Kaj je aritmetična sredina? Kaj je varianca? Kaj je statistika?
Pa začnimo ...
Statistika je veda, ki se ukvarja z urejanjem velikega števila podatkov. Statistično raziskavo izvedemo na veliki množici elementov. Vsak posamezni element imenujemo statistična enota, celotno množico pa imenujemo populacija. Če je populacija prevelika, raziskavo opravimo na vzorcu - na delu populacije.
Statistični parametri so splošne lastnosti, ki veljajo za populacijo kot celoto in jih dobimo kot rezultat statistične raziskave. Najpogostejši statistični parameter je velikost populacije (oznaka N).
ARITMETIČNA SREDINA
Aritmetična sredina, povprečje ali povprečna vrednost je drugi najpombembnejši statistični parameter. Je srednja vrednost, ki jo dobimo tako, da vsoto vseh podatkov delimo s številom podatkov N. Pogoste označbe: M, PO, x̄, ...
Aritmetična sredina ali povprečje je osnovna statistična mera centralne tendence, ki predstavlja "središčno" vrednost podatkovne množice. Izračuna se tako, da se vsota vseh opazovanih vrednosti deli s številom opazovanih vrednosti. Matematično se to izraža z enačbo:
povprečje = vsota opazovanih vrednosti / število opazovanih vrednosti
Aritmetična sredina se lahko uporablja za različne vrste podatkov, kot so denimo ocene na izpitu, starost ljudi v populaciji, mesečni dohodki, itd. Aritmetična sredina je priljubljena statistična mera, ker je enostavna za razumevanje in interpretacijo ter ker je občutljiva na ekstremne vrednosti, kar lahko kaže na morebitne izstopajoče vrednosti v podatkovni množici.
Pomembno je omeniti, da aritmetična sredina predstavlja le eno statistično mero centralne tendence in ni vedno najboljša izbira za opisovanje podatkovne množice, še posebej če ima množica izrazite izstopajoče vrednosti. V takih primerih je morda bolj uporabna druga statistična mera centralne tendence, kot je na primer mediana ali modalna vrednost.
Primer: povprečna hitrost=56,30, kar pomeni, če bi vsi vozniki v vzorcu vozili enako hitro, bi vsi vozili 56,30 km/h.
Standardni odklon
Standardni odklon oziroma standardna deviacija meri razpršenost podatkov okoli aritmetične sredine. Večja vrednost pomeni večjo razpršenost, manjša pa večjo podobnost vrednosti. Izražen je v enakih enotah kot podatki.
Pomembno je razlikovati populacijski standardni odklon od njegove vzorčne ocene:
- Populacija: σ = √[Σ(xᵢ − μ)² / N].
- Vzorec: s = √[Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)].
Pri tem so xᵢ opazovane vrednosti, μ populacijska sredina, x̄ vzorčna sredina, N velikost populacije in n velikost vzorca. Vzorčna ocena variance uporablja popravek z deliteljem n − 1.
Standardni odklon opisuje razpršenost opazovanih vrednosti; sam po sebi ne dokazuje kakovosti ali natančnosti merskega instrumenta.
Varianca
Varianca je kvadrat standardnega odklona. Opisuje razpršenost podatkov na podlagi kvadratov odstopanj od aritmetične sredine.
- Populacijska varianca: σ² = Σ(xᵢ − μ)² / N.
- Vzorčna ocena variance: s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1).
Varianca je izražena v kvadratnih merskih enotah, zato je za vsebinsko razlago pogosto priročnejši standardni odklon. Pri navedbi formule vedno pojasnite, ali obravnavate populacijo ali vzorec.
Kako izračunati standardni odklon?
Standardni odklon lahko izračunate v Excelu, SPSS, R ali z ustreznim kalkulatorjem. Pomembno je, da izberete postopek za vzorec ali celotno populacijo.
Izračun standardnega odklona v Excelu
- STDEV.S oceni standardni odklon vzorca in uporablja delitelj n − 1.
- STDEV.P izračuna standardni odklon celotne obravnavane populacije in uporablja delitelj N.
Starejši funkciji STDEV in STDEVP sta ohranjeni zaradi združljivosti; pri novih datotekah uporabite ustrezni sodobni funkciji. Pred izračunom preverite območje podatkov in obravnavo manjkajočih vrednosti.
...
2. Izračun standardnega odklona s pomočjo žepnega kalkulatorja
- najprej izračunamo varianco:
- izračunamo oddaljenost vsakega rezultata od povprečja,
- damo te vrednosti na kvadrat,
- seštejemo vse te kvadrirane vrednosti,
- delimo seštevek s številom rezultatov -1 (če računamo standardni odklon za vzorec) ali delimo seštevek s številom rezultatov (če računamo standardni odklon za populacijo)
- nato izračunamo standardni odklon s kvadratnim korenom iz variance
- najprej izračunamo varianco:
ČE POVZAMEM ...
- Standardni odklon in varianca sta najbolj znani meri razpršenosti enot.
- Povprečno vrednost (povprečje, aritmetično sredino) izračunamo tako, da vsoto vseh vrednosti delimo s število vseh podatkov (N).
- Standardni odklon, varianco, aritmetično sredino lahko izračunamo s pomočjo različnih pripomočkov: v Excelu, s pomočjo žepnega kalkulatorja, s pomočjo SPSSa, Matlaba, ...). Tudi mene lahko prosite za pomoč.
- Izračun standardnega odklona s pomočjo žepnega kalkulatorja vam ravno ne priporočam - dokaj zamudno je.
Se bereva,
dr. Melita Moretti
P.S.
Še prijateljski opomnik.
Če potrebujete mojo pomoč pri izvedbi osnovnih in drugih statističnih analiz, kliknite tu in >> dobite vse informacije kako stopiti v stik z mano.
P.P.S.
Vabilo!
Potrebujete informacije ali imate vprašalnik skladen s hipotezami?
Vabim vas, da izpolnite spodnji obrazec in izkoristite brezplačen posvet.
Potrebujete pomoč ali samo nasvet, podajte vprašanje spodaj.